Introdução: A matemática frequentemente generaliza conceitos, e a divisibilidade, essencial nos inteiros (Z), é expandida para os inteiros gaussianos (Z[i]), números complexos com partes real e imaginária inteiras. Esta transição move o conceito da reta numérica unidimensional para o plano complexo, introduzindo novas nuances e desafios pedagógicos. O presente estudo se enquadra como pesquisa teórica fundamental, utilizando a pesquisa bibliográfica e o método dedutivo para explorar as propriedades da divisibilidade em Z[i]. A análise revela que Z[i] mantém as propriedades fundamentais de divisibilidade de Z, como a divisão de somas, mas a noção de primalidade é radicalmente alterada pela introdução das unidades (±1,±i). Um número como 2, que é primo em Z, é redutível em Z[i] (2=(1+i)(1−i)). O trabalho formaliza que um primo p∈Z é irredutível (primo gaussiano) em Z[i] se, e somente se, p≡3(mod4), conforme o Teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados. A teoria do Máximo Divisor Comum (MDC) e do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é adaptada, destacando-se que o MDC e o MMC são multivalorados em Z[i] (associados por unidades). O Algoritmo de Euclides é generalizado utilizando a norma (N(z)) para garantir a finitude das iterações, e a relação fundamental mmc(z,w)⋅mdc(z,w)∼zw é mantida. O Teorema de Bachèt-Bezòut e a solução de Equações Diofantinas Lineares também são estendidos para Z[i], assim como o conceito de congruências e o Teorema Chinês do Resto, provando a riqueza estrutural deste anel. Em suma, a divisibilidade em Z[i] é uma rica generalização que aprofunda a álgebra abstrata e convida educadores e estudantes a transcenderem a intuição da reta numérica, utilizando a estrutura bidimensional e a norma para uma compreensão mais completa da teoria dos números. Objetivos: O objetivo geral do artigo é: Investigar a expansão do conceito de divisibilidade do conjunto dos números inteiros (Z) para o universo dos inteiros gaussianos (Z[i]), destacando suas propriedades fundamentais, as alterações conceituais introduzidas pela estrutura complexa e suas implicações para o ensino e o aprofundamento da teoria dos números. Materiais e Método: Considerando o título “Um estudo da divisibilidade nos Inteiros Gaussianos”, e utilizando a classificação de metodologias de pesquisa proposta por Marconi e Lakatos, este trabalho se enquadra predominantemente como uma pesquisa teórica, de natureza pura ou fundamental, com objetivos descritivos e potencialmente explicativos, empregando como principais procedimentos técnicos a pesquisa bibliográfica, a análise documental e o método dedutivo. A natureza conceitual e abstrata do tema, focada na exploração das propriedades da divisibilidade dentro do sistema numérico dos inteiros gaussianos, indica uma investigação primariamente voltada para o aprofundamento do conhecimento na área da álgebra, sem uma aplicação prática imediata. A pesquisa se basearia na revisão de literatura matemática especializada e na dedução lógica para analisar a estrutura algébrica de Z[i] e as particularidades da divisibilidade neste domínio, com o objetivo de descrever suas características e, possivelmente, explicar as razões subjacentes a certas propriedades e relações. Resultados: Nesta seção, os resultados da análise da divisibilidade no anel dos inteiros gaussianos (Z[i]) serão apresentados e comparados com as propriedades análogas no conjunto dos números inteiros (Z). A apresentação focará em ilustrar as definições, propriedades e comportamentos dos elementos em ambos os domínios, com o auxílio de exemplos concretos. Esta subseção iniciará com a formalização do conceito de divisibilidade em Z[i]. Definição Formal de Divisibilidade: Será apresentada a definição de que dados α,β∈Z[i], α divide β se, e somente se, existe γ∈Z[i] tal que β=αγ. Por exemplo, 1+i divide 1+3i, pois 1+3i = (1+i)(2+i). Sejam z,w1 e w2 inteiros gaussianos e n natural. Se z divide w1 e divide w2, onde w1 = zk1 e w2 = zk2, então: z divide w1±w2, pois k3 = k1±k2 é tal que w1+w2 = zk3 e k3∈Z[i] z divide αw1 + βw2, pois k3 = αk1 + βk2 é tal que αw1 + βw2 = zk3 e k3∈Z[i] z divide w1w2, pois k3 = zk1k2 é tal que w1w2 = zk3 e k3∈Z[i] z divide w1^n e w2^n, pois k3 = z^(n-1)k1^n e k4 = z^(n-1)k2^n são tais que w1^n = zk3, w2^n = zk4 e k3,k4∈Z[i]. Essas propriedades refletem padrões já conhecidos em Z, permitindo estender resultados e intuições ao contexto de Z[i]. Analisemos agora os elementos irredutíveis em Z[i]. Definição Formal de Primos Gaussianos (elementos irredutíveis em Z[i]): Será apresentada a definição de que, seja α∈Z[i], α é dito primo gaussiano se, e somente se, para cada par β,γ∈Z[i] tais que α=βγ, β ou γ são unidades. Note que as unidades não são consideradas primos gaussianos, pois em cada par β e γ, ambos são unidades, e temos que apenas um deles poderia ser uma. Mas e agora, como podemos determinar quais inteiros gaussianos são redutíveis e quais não são? Por exemplo, 2 é um número primo, mas não é primo Gaussiano, pois podemos escrever 2 = (1+i)(1-i) e nem 1+i nem 1-i são unidades. Suponha então que p seja um número primo. Pelo Teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados, temos que existem a,b inteiros tais que p = a²+b² se, e somente se, p=2 ou p1 (mod4). Como p é primo, então p = 2, p1 (mod4) ou p3 (mod4). Desta forma, podemos escrever o Teorema de Fermat da forma “p3 (mod4) se, e somente se, não existem a,b inteiros tais que p = a²+b²”. Note que a² + b² = (a+bi)(a-bi), ou seja, se um primo p pode ser escrito como a²+b², então p é redutível em Z[i]. Suponha então por absurdo que existe p3 (mod4) tal que p é redutível em Z[i]. Dessa forma, como p não é uma unidade, dado p = zw com z,w inteiros gaussianos, nem z nem w são unidades. Como a norma é multiplicativa, N(p) = N(z)N(w) => p =² N(z)N(w), pois N(p) = p². Como p é primo e z,w não são unidades (que implica em N(z) e N(w) serem diferentes de 1), N(z) = N(w) = p. Dessa forma, como N(z) = Re²(z)+Im²(z) => existem a,b inteiros tal que p = a²+b², o que é um absurdo pelo Teorema de Fermat, pois p3 (mod4), ou seja, a nossa afirmação inicial é falsa, assim, se p3 (mod4), p é primo gaussiano. Portanto, dado p primo, p é irredutível em Z[i] se, e somente se, p3 (mod4). Veja agora que, se um inteiro N não é primo, então ele também não é primo gaussiano, pois todo inteiro também é um inteiro gaussiano. Assim, analisemos os outros elementos de . Seja z inteiro gaussiano com parte imaginária não nula. Então, para cada par w1,w2∈Z[i], N(z) = N(w1)N(w2). Dessa forma, se N(z) é primo, então ou N(w1)=1 ou N(w2) = 1, que implica em w1 ou w2 são unidades e portanto, z é primo gaussiano. Se existem w1,w2∈Z[i] tais que N(z) = N(w1)N(w2), e ambos N(w1) e N(w2) são diferentes de 1, dessa forma, nem w1 nem w2 são unidades, ou seja, z não é primo gaussiano. Veja que analisamos tanto a irredutibilidade dos elementos de Z[i] que também são inteiros (ou seja, tem parte imaginária nula) quanto os elementos que tem parte imaginária não nula, assim, cobrimos todos os elementos de Z[i]. Portanto, temos que, dado z∈Z[i], temos que z é primo gaussiano se, e somente se, N(z) é primo, ou z é primo e z3 (mod4). Por exemplo, 31 é primo gaussiano, pois 31 é primo e 313 (mod4), 1+i também, pois N( Considerações Finais: Em suma, a divisibilidade em Z[i] representa uma rica generalização das noções familiares de divisibilidade em Z, oferecendo novas perspectivas que vão muito além dos números inteiros tradicionais. A exploração desses conceitos não só enriquece a teoria algébrica e a álgebra abstrata, mas também abre novas portas para o estudo de estruturas algébricas mais complexas, convidando à reflexão sobre as infinitas possibilidades de extensão e adaptação dos conceitos matemáticos ao longo do tempo. Assim, o estudo da divisibilidade em Z[i] não é apenas uma extensão técnica, mas uma oportunidade de aprofundamento e inovação no ensino e na pesquisa matemática.
Palavras-chave: Divisibilidade; Inteiros Gaussianos; Teoria dos números.
Votação encerrada.
